Cálculo Numérico- UFABC
Realizaremos o exercício em duas partes. Na primeira, pelo método de Simpson, e, em seguida pela regra dos trapézios.
O método de Simpson é uma estratégia utilizada para a obtenção de um valor aproximado de uma determinada integral. Como sabemos, calcular a integral de uma função nada mais é do que o cálculo da área definida por essa função em um intervalo delimitado (integral definida).
Dividimos a função em subintervalos e traçamos novas funções que passem por três subintervalos consecutivos. Esse processo recebe o nome de interpolação. Traça-se a área delimitada pelos três primeiros subintervalos interpolados, em seguida, repete-se o procedimento para os próximos subespaços. O intervalo no eixo x entre cada área, chamamos de h, que será igual para todas as áreas., e, cada um dos pontos da função é nomeado com y e índices consecutivos.
A fórmula utilizada no método é:
onde f(x0)=y1, f(x2j) são todos os y com índice impar, sem contar as extremidades, f(x2j-1) são todos os y com índice par sem contar as extremidades e f(xn) é o último ponto da função.
a-)
Percebe-se que o h vale 0,25.
y0= 0,14815
os y com coeficientes ímpares;
y1: 0,08921 e y3=0,02963
y com índice par;
y2=0,05248
y4=0,01563
Resolvendo a fórmula no excel obtemos o valor aproximado para a integral da função:0,062008583
b-)
O h continua sendo 0,25
yo=0,14815
y com índices ímpares
y1= 0,08921 e y3=0,02963
y com índices pares
y2=0,05248 e y4=0,01563
y5=0,00733
Nesse caso, o valor obtido em excel é de 0,063921292
c-) O erro, em ambos os métodos é dado por:
Em que p é o valor exato - enunciado - e p' o valor encontrado usando a formula.
Erro A = -0,0003320481
Erro B = 0,0129815015
O Método dos trapézios é outro método para o cálculo aproximado de integrais definidas. Recebe esse nome devido à segmentação em partes iguais da área sob a curva, integral, a ser calculada, gerar trapézios. A segmentação do eixo x, no exercício é denotada por h - quanto menor o h mais precisa a aproximação.
Em que as laterais são as bases menor e maior dos trapézios e a altura é dada pela segmentação do eixo x.
a-)
Percebe-se que o h vale 0,25.
y0= 0,14815
termos do meio;
y1=0,08921, y2=0,05248, y3=0,02963
y4=0,01563
Resolvendo a fórmula no excel obtemos o valor aproximado para a integral da função:0,033591375
b-)
Percebe-se que o h vale 0,25.
y0= 0,14815
termos do meio;
y1=0,08921, y2=0,05248, y3=0,02963, y4=0,01563
y4=0,00733
Resolvendo a fórmula no excel obtemos o valor aproximado para a integral da função:0,0268421875
c-) Erro A = 0,4580987449
Erro B = 0,5855256555
Aproximando a integral I dada no enunciado através da regra de Simpson pelo MATLAB, usando o código:
f2 = 'x.^3 + log(x)';
format long;
Is = quad(inline(f2),1,2,10e-3,1)
Temos como resultado:
Is =
4.136294334336416
A função "quad(f,a,b,tol)" está na raiz do programa, ou seja, ela é executada por padrão e seu código pode ser obtido através da pesquisa de scripts dentro do próprio programa. Obviamente, o MATLAB, ao colocarmos o valor do erro que gostaríamos de ter, usa o menor número de subintervalos possível para o cálculo da integral através da Regra de Simpson. Entretanto, a forma que ele nos disponibiliza esse número de subintervalos não é a melhor maneira de se analisar esse valor.
Por isso, iremos nos basear na estimativa de erro da Regra de Simpson 1/3.
Considerando que:
A estimativa para o erro pela Regra 1/3 de Simpson é dada por:
E considerando que:
A estimativa para o erro pela Regra 1/3 de Simpson repetida é dada por:
Com isso, é possível perceber que:
Entretanto, basta a estimativa para o erro da Regra 1/3 de Simpson repetida para encontrarmos n, o número de pares de subintervalos, e, finalmente, m=2n, o número de subintervalos.
A quarta derivada da função que queremos integrar foi calculada através do WolframAlpha:
Quanto ao máximo dessa derivada no intervalo [1,2], nós podemos observar o gráfico para termos uma noção:
Percebe-se que o máximo ocorre quando x=1 e seu correspondente é y=-6, que em módulo é 6, o valor que usaremos na estimativa do erro.
Substituindo todos os valores que temos na estimativa do erro, obtemos:
Como o número de pares de subintervalos para o erro dado foi de n=2 (o arredondamento se dá por estarmos tratando de número de intervalos, uma grandeza inteira), o número mínimo de subintervalos para que o erro seja menor que 10^-3 é de m=4.
Apenas para efeito de comparação, calculamos o valor real da integral por meio do WolframAlpha:
Com isso, comparando o valor obtido com o MATLAB e o valor obtido com o WolframAlpha, vemos que o erro está dentro da tolerância de 10^-3, e muito menor, já que:
Utilizando o mesmo método do exercício 2, aproximemos as integrais das funções por meio do MATLAB:
f3a = '1./(1 + (x - pi).^2)'; f3b = 'exp(x).*cos(x)';
format long; format long;
Is = quad(inline(f3a),0,5,1e-4,1) Is = quad(inline(f3b),0,pi,1e-4,1)
Is = Is =
2.339730756428165 -12.070341429522006
Os valores reais da integral dessas funções foi calculado com o WolframAlpha:
Para o cálculo do número mínimo de subintervalos, basta a estimativa do erro da Regra 1/3 de Simpson repetida. Para isso, precisaremos da quarta derivada e de seu máximo de cada uma das funções.
Para f1(x):
Analisando o intervalo [0,5] no gráfico para estimar seu máximo:
O máximo dessa derivada pode ser visto entre 3 e 3,2 e, devido a simetria dessa derivada, o máximo ocorre quando x=π e y1=24.
Substituindo todos os valores na fórmula do erro, obtemos:
Como o número de pares de subintervalos para o erro dado foi de n=23, o número mínimo de subintervalos para que o erro seja menor que 10^-4 é de m=46.
Para f2(x):
Analisando o intervalo [0,π] no gráfico para estimar seu máximo:
O máximo dessa derivada pode ser visto entre 3 e 4 e, como o intervalo acaba em π, o máximo ocorre quando x=π e y2=92,42366256.
Substituindo todos os valores na fórmula do erro, obtemos:
Como o número de pares de subintervalos para o erro dado foi de n=18, o número mínimo de subintervalos para que o erro seja menor que 10^-4 é de m=36.
Método de Simpson:
Percebe-se que o h vale 0,20.
y0= 3,12014
os y com coeficientes ímpares;
y1: 3,12014 e y3=6,04241
y com índice par;
y2=6,04241
y4=10,46675
Resolvendo a integral, obtemos 4,154794
Método dos Trapézios:
Percebe-se que o h vale 0,20.
y0= 3,12014
termos do meio;
y1=3,12014, y2=6,04241, y3=6,04241
y4=10,46675
Resolvendo a integral, obtemos 4,399681
Após aplicar os dois métodos para a resolução da integral, conclui-se que os resultados divergem um pouco. Essa divergência se dá pela própria definição do método.
O método de Simpson, por usar o um coeficiente h/3, mais preciso, retorna uma aproximação melhor do que em relação ao método dos Trapézios que usa o coeficiente h/2.
Com os valores dos erros para os valores de f(x) dados na tabela, temos uma nova tabela de f(x), corrigida com os respectivos erros:
Aplicando a mesma metodologia anterior, temos como resultado a integral calculada pelos métodos de Simpson e do Trapézio:
Integral (Simpson) = 4,154793107
Integral (Trapézio) = 4,39968024
Seja I1 e I2 os resultados das integrais obtidas nos exercícios 4 e 5, respectivamente, então o erro das integrais associado aos erros por arredondamento é I1-I2.
Temos então:
I1-I2 (Simpson) = 8,93E-07
I1-I2 (Trapézio) = 7,6E-07
Observa-se que o erro no resultado da integral decorrente dos erros de arredondamento foi maior no método de Simpson, visto que neste método há um fator multiplicativo de 4 na somatória dos termos ímpares, amplificando o efeito dos erros de arredondamento.
REFERÊNCIAS
[1] Cálculo Numérico, Aspectos Teóricos e Computacionais de M. A. G. Ruggiero e V. L.R. Lopes
[2] Cálculo Numérico, VI - Integração Numérica de Prof. Dr. Sérgio Pilling. http://www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt6.pdf