Cálculo Numérico- UFABC
Exercício 1 - A)
Exercício 1 B) Para cada atributo de cada veículo pesquisado, calculamos sua normalização em relação à aos valores máximos e mínimos e média, utilizando a formula descrita na metodologia.
Exercício 1 C)
Método dos Mínimos Quadrados
O objetivo em questão é determinar uma função a partir de uma combinação linear já conhecida. A distância entre essa função que buscamos e a função conhecida precisa ser a menor possível.
Com uma função conhecida através de dados de pontos em uma tabela, uma reta que melhor aproxima um conjunto desses pares ordenados é aquela que possui a soma mínima dos desvios ao quadrado. O chamado caso Discreto
Fórmula: X= (AtA^-1)*AtB
Utilizando a fungão da Ana :P = C0 + C1A + C2K Definimos:
Matriz A (40x3) sendo os valores da tabela do Ano na coluna 2 e Quilometragem na coluna 3
Matriz Transposta de A (At)
Matriz B (40x1) sendo os valores da tabela do Preço
Resolvendo as Matrizes pelo programa Excel, chegamos aos valores dos coeficientes
Outa forma de chegar ao resultado dos coeficiente é utilizando a Função Regressão Linear pelo programa Excel:
Assim chegamos aos coeficientes C0=-2365309,033 C1=1187,376268 C2=-0,047629524
Substituindo os valores na função da Ana:
P = -2365309,033 + 1187,376268*A-0,047629524*K
Exercicio 1 D) Analisando a função com os coeficientes conhecidos podemos deduzir que ela está coerente com a realidade com a Quilometragem do carro inversamente proporcional ao Preço e quanto mais novo mais caro o carro.
O erro quadrático médio (EQM) pode ser usado como uma medida do erro de previsão. O EQM é determinado somando os erros de previsão ao quadrado e dividindo pelo número de erros usados no cálculo. O erro quadrático médio pode ser expresso pela seguinte equação:
Erro Médio Quadrático = 6122362,71
EQM em questão é muito alto pois há grandes desvios que resultam um peso grande no cálculo.Não é o estimador desejado talvez pelos valores discrepantes da tabela.
Exercicio E)
O Anúncio 26 possui o menor ágio percentual portanto é o mais justo, a melhor barganha. 16 anúncios ficaram com Hi < 10% ou seja, anúncio justo.
Exercício F)
Vamos supor um valor qualquer de quilometragem e a partir dele calculemos sua depreciação a cada 10000 km .Sendo ano constante e utilizando a formula da Ana:
Valor Inicial= 20000 Km
P = -2365309,033 + 1187,376268*2011-0,047629524*20000
O carro irá desvalorizar R$476,30 a cada 10.000km.
Exercício 1 G)
P = -2365309,033 + 1187,376268*A-0,047629524*K
P = -2365309,033 + 1187,376268*2011-0,047629524*63000
Preço Justo para o Celta da Ana = R$ 19.505,01
Nesse exercicio utilamos o método dos quadrados mínimos. O programa utilizado para a resolução numérica foi o Excel.
O método dos Quadrados Mínimos é uma técnica de otimização matemática. Utilizada sempre em que há uma distribuição de pontos e quer se ajustar a melhor curva ao conjunto de dados, tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados - resíduos.
A aproximação polinomial usada é:
Em que os coeficientes "a"s são tais que a função se aproxima ao máximo do conjunto de pontos.
Para encontrar os coefcientes (a1...an):
É preciso resolver o sistema
em que:
E é preciso resolver - o mesmo sistema, no entanto reescrito de outra forma.
Este procedimento pode ser generalizado para qualquer função g(x) - curva de ajuste - da forma :
se, e somente se, gj(x) nos pontos estudados resultem em vetores Linearmente Independentes, ou seja, ortogonais entre si - condição necessária para que (A^t) seja invertível.
Dessa forma, a matriz A do sistema será matriz diagonal com ai DIF 0 e, portanto o sistema terá solução única.
Resolução Numérica
A partir dos pontos dados no exercício, criamos uma tabela com os valores correspondentes.
Em seguida, selecionando a tabela inserimos um gráfico de x por p(x). Os pontos que apareceram foram conectados utilizando a ferramenta de linha de tendência
Na formatação de linha de tendência escolhemos a opção polinomial e pedimos a exibição da equação do gráfico.
Portanto, a equação polinominal que mais se aproxima do conjunto desse conjunto de dados é:
y = -2x² + 13x - 17
Para a realização do exercício utilizamos o método da Interpolação Polinomial e o programa Excel. A interpolação foi resolvida por meio de um sistema linear. Nele, utilizamos o método da eliminação de Gauss, visto na lista de exercícios anterior.
Dizemos que a aproximação de uma função f(x) por uma outra função g(x), escolhida de maneira conveniente, é uma interpolação. A função g(x) será então utilizada no lugar da f(x). De modo geral, uma interpolação é realizada quandp :
- quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado;
- quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas.
Como o exercício faz menção à polinomios, trataremos da interpolação polinomial, ou seja, um polinômio será interpolado.
Existem diferentes métodos para a realização da interpolação. Cada um deles carrega consigo erros próprios de arredondamento, uma vez que as operações aritméticas são conduzidas de diferentes maneiras.
Uma das maneiras possíveis é a resolução por meio de sistemas lineares.
Suponha (n+1) pontos: (x0, f(x0)), (x1, f(x1)),......, (xn, f(xn)). A ideia é aproximar f(x) por um polinômio pn(x), com grau menor ou igual a n.
Representaremos pn (x) por:
Então, obter PN (x) significa obter os coeficientes a0, a1...an. E então, utilizando o método de gauss, podemos encontra-los.
Primeiramente, substituimos os valores de x do polinômio que queremos encontrar pelos valores de x dados na tabela. Dessa maneira obtemos três equações com três incognitas. Cada uma das equações é igualada ao respectivo valor p(X) representados também na tabela mostrada acima. O sistema linear obtido foi resolvido em 5 passos utilizando o método de eliminação de Gauss no excel. Como resultado obtemos os valores das constantes desejadas c0, c1 e c2. c0=-32; c1=11; c2=-2.
Sendo assimm, o polinômio encontrado foi p(x)= -32+11(x+1)-2(x+1)(x-2)
Para a resolução deste exercício será utilizado o Polinômio Interpolador de Lagrange, para isso, será feita uma introdução teórica do método.
Interpolação Polinomial: O Método de Lagrange
Dado um conjunto de k+1 pontos:
Com todos xj distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange é a combinação
linear dos polinômios da base de Lagrange:
Com polinômios da base de Lagrange dados por:
A partir dessa definição, é possível determinar uma série de k polinômios, de modo que cada polinômio de Lagrange, individual e independentemente, ajuste o valor da função em um ponto:
Para o enésimo ponto dado:
Assim, pode ser determinada a fórmula geral para os polinômios de Lagrange:
O Polinômio interpolador de Lagrange é dado pela combinação linear dos Lk(x) polinômios base:
Enfim, para o enésimo valor, o Polinômio interpolador de Lagrange se torna:
Nota-se que os problema de interpolação polinomial pode ser resolvido na forma matricial, o que facilita em alguns cálculos. Entretanto, seguiremos o método acima citado a risca e finalizaremos com algumas análises via MATLAB. Vamos agora a resolução do exercício.
Resolução
Primeiramente, verificamos qual a forma do nosso polinômio interpolador, a fim de observar quais valores temos de calcular. Como há (k+1)=3 pontos dados no enunciado, o nosso polinômio deve ser da forma:
Ou seja, devemos calcular o valor da função f(x) no ponto dado e os polinômios de Lagrange individuais:
Com todos os valores calculados podemos determinar, enfim, o Polinômio interpolador de Lagrange para os 3 pontos dados, ou seja, a curva que mais se aproxima da função f(x) em 0, 1/2 e 1:
O gráfico de f e de p no intervalo [-1,2] foi feito no software MATLAB através do código:
x = -1:0.01:2;
f = exp(x); %em azul
p = 2.*(x-1./2).*(x-1)-exp(1./2).*4.*x.*(x-1)+exp(1).*2.*x.*(x-1./2);
plot(x,f,x,p);
grid on;
A curva de f está em azul, enquanto a curva do Polinômio Interpolador está em vermelho:
Através do gráfico acima podemos visualizar que não é seguro utilizar o polinômio interpolador para prever o comportamento da função fora do intervalo de interpolação (extrapolação), visto que os únicos pontos que realmente são iguais para f e g são os pontos utilizados para fazer a aproximação da curva, ou seja, os pontos dados no enunciado (0, 1/2 e 1). Todos os outros pontos são aproximações, sendo que aqueles pontos na vizinhança dos pontos 0, 1/2 e 1 possuem aproximações mais exatas do que aqueles que fogem da vizinhança citada. Basta olhar o gráfico para perceber que a partir de -0,25 para o sentido negativo do eixo x e de 1,25 para o sentido positivo do eixo x, a curva que corresponde ao polinômio interpolador p (em vermelho) passa a divergir da curva original da função f (em azul). Daí a insegurança em usar o polinômio interpolador.
Plotemos agora o mesmo gráfico, mas no intervalo [0,1], através do código:
x = 0:0.01:1;
f = exp(x); %em azul
p = 2.*(x-1./2).*(x-1)-exp(1./2).*4.*x.*(x-1)+exp(1).*2.*x.*(x-1./2);
plot(x,f,x,p);
grid on;
A curva de f está em azul, enquanto a curva do Polinômio Interpolador está em vermelho:
De acordo com o gráfico, há duas regiões em que a aproximação foi ruim: ]0, 0.5[ e ]0.5, 1[. Obviamente, os intervalos em que os pontos 0, 1/2 e 1 não são coincidentes para f e p. Para uma melhor obervação, vamos dar um zoom nas duas regiões.
- Região 1: ]0, 0.5[
- Região 2: ]0.5, 1[
Observando o zoom das duas regiões é difícil ver a olho nu a pior aproximação. Entretanto, se seguirmos a lógica de que quanto mais longe da vizinhança dos pontos em que as curvas se cruzam, pior é a aproximação, nos intervalos ]0, 0.5[ e ]0,5, 1[, as piores aproximações estariam nos pontos 0,25 e 0,75, respectivamente. Desconsiderando essa lógica, visualmente, é extremamente complicado saber qual a pior aproximação no intervalo [0, 1].
Para a resolução deste exercício, nos basearemos no Método dos Mínimos Quadrados, o qual será explicado aqui na forma de passo-a-passo.
Método dos Mínimos Quadrados
Assim como o Método do Polinômio Interpolador de Lagrange, este também é um método de ajuste de curvas, de aproximação de funções. Ele é tratado de formas diferentes em casos contínuos e casos discretos (exercício em questão). No Método dos Mínimos Quadrados, nós conseguimos certa margem de erro para "extrapolarmos" o intervalo dado (ou os pontos) dado no problema, diferentemente do Método de Lagrange. Vamos ao passo-a-passo:
- Passo 1: Escolher a função de ajuste ϕ(x) através de um diagrama de dispersão de pontos.
- Passo 2: Depois de escolhida a função ajuste ϕ(x) identificar nela as funções auxiliares g(x) tal que ϕ(x) seja do tipo:
- Passo 3: Montar o sistema de equações. O numero de equações do sistema igual ao numero de funções auxiliares gi(x) (igual ao numero de incógnitas ai). No caso de uma parábola, termos um sitema de três equações, pois:
- Passo 4: Calcular os coeficientes aij e bi do passo 3. Esses coeficientes são definidos pelos seguintes somatórios e após seu calculo obteremos números.
- Passo 5: Reescrever o sistema de equações do passo 3 (agora os aij e bi são números) e resolvê- lo, por exemplo, utilizando o método de eliminação de Gauss ou algum método iterativo (Gauss-Jacobi ou Gauss-Seidel).
Vamos agora à resolução do exercício.
Resolução
Primeiramente vamos fazer a dispersão dos pontos de g(x), através do MATLAB, e analisar, de forma breve, qual seria o ponto de intersecção com a função f(x):
y = -1:0.01:4;
f = cos(y); %em azul
x = [0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000];
g = [-0.850 0.011 0.600 0.990 1.233 1.361 1.400];
plot(y,f,x,g,'*');
grid on;
Visto que a dispersão se parece com pontos de uma “semi” parábola, tentaremos ajustar a função g(x) para uma função do tipo ϕ(x)=a+bx+cx^2 através do método dos mínimos quadrados, de acordo com os passos citados e explicados acima. Como já sabemos com qual curva a dispersão se parece e temos o sistema de equações montado, mas cheio de incógnitas, basta agora calcular cada uma dessas incógnitas através dos somatórios de aij e bi, para que possamos completar a matriz e achar os coeficientes de ϕ(x). Utilizando o sistema abaixo e passando para a forma matricial, teremos:
Calculando a1, a2 e a3 com ajuda do MATLAB, temos:
A = [7 10.5 22.75; 10.5 22.75 55.125; 22.75 55.125 142.1875];
B = [4.745; 12.159; 28.89325];
X = inv(A)*B
O qual resulta em X = [-0.7959; 1.6645; -0.3148], ou seja, ϕ(x) = -0.7959 +1.6645x -0.3148x^2.
Verificando se a aproximação ϕ(x) (em azul) está de acordo com a dispersãode g(x), obtemos:
x = -1:0.01:4;
fi = -0.7959 + 1.6645*x -0.3148*x.^2; %em azul
y = [0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000];
g = [-0.850 0.011 0.600 0.990 1.233 1.361 1.400];
plot(x,fi,y,g,'*');
grid on;
Visto que o ajuste dos pontos de g(x) foi muito bom, podemos prosseguir com o exercício.
Basta agora estimar o ponto de intersecção entra as duas funções f(x) e g(x). Com a ajuda do WolframAlpha, calculamos f(x)= ϕ(x), ou seja, cos(x)= -0.7959+1.6645x -0.3148x2. Então, x=0.992808.
Esse resultado pode ser visto no seguinte gráfico, onde f(x) está em azul e ϕ(x) está em vermelho, também plotado com o MATLAB:
x = -1:0.01:4;
f = cos(x); %em azul
fi = -0.7959 + 1.6645*x -0.3148*x.^2;
plot(x,f,x,fi);
grid on;
